Σε μια πόλη οποιοιδήποτε δύο γνωστοί δεν έχουν κοινούς γνωστούς και οποιοιδήποτε δύο άγνωστοι έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς.
Αποδείξτε ότι όλοι οι κάτοικοι έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών.
Απάντηση:
Έστω ότι οι Α και Β γνωρίζονται και έστω Σ(Α) και Σ(Β) τα σύνολα των γνωστών των Α και Β. Η τομή των δύο συνόλων είναι το κενό σύνολο εξ υποθέσεως. Θα δείξουμε ότι υφίσταται μία ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων.
Έστω Α1 ένας γνωστός του Α. Ο Α1 δεν μπορεί να είναι γνωστός του Β εξ υποθέσεως. Άρα είναι άγνωστοι και συνεπώς έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς. Ο ένας είναι ο Α και ο άλλος θα είναι κάποιος γνωστός του Β. Επαναλαμβάνοντας τον συλλογισμό για κάθε γνωστό του Α προκύπτει πως κάθε στοιχείο του συνόλου Σ(Α) αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του συνόλου Σ(Β). Αν δύο γνωστοί του Α, οι Α1 και Α2, γνώριζαν τον ίδιο γνωστό του Β, τον Β1, τότε ο Β1 και ο Α θα είχαν τρεις κοινούς γνωστούς, τους Α1, Α2 και Β, κάτι που απαγορεύεται εξ υποθέσεως. Άρα η αντιστοιχία από το Σ(Α) προς το Σ(Β) είναι ένα προς ένα.
Επαναλαμβάνοντας τα ίδια επιχειρήματα για τον Β καταλήγουμε με συμμετρικό τρόπο ότι η αντιστοιχία από το Σ(Β) προς το Σ(Α) είναι επίσης ένα προς ένα. Άρα μεταξύ των στοιχείων των συνόλων Σ(Α) και Σ(Β) υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα και επί, δηλαδή ότι ο Α έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Β.
Έστω τώρα ότι οι Γ και Δ δεν γνωρίζονται. Αυτοί εξ υποθέσεως έχουν δύο κοινούς γνωστούς, έστω τους Ε και Ζ.
Επαναλαμβάνοντας το πρώτο μέρος της απόδειξης για τους γνωστούς Γ και Ε καταλήγουμε πως έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών. Το ίδιο συμβαίνει και για τους Ε και Δ. Άρα αφού ο Γ έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Ε και ο Ε έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Δ, συνεπάγεται ότι ο Γ έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Δ.
Αποδείξαμε τελικά πως δύο κάτοικοι, είτε είναι μεταξύ τους γνωστοί είτε άγνωστοι, έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών και αφού αυτό ισχύει για οποιουσδήποτε δύο κατοίκους σημαίνει πως όλοι οι κάτοικοι έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών.
Περισσότεροι γρίφοι εδώ.